الف) دو پاره‌خط $AB$ و $CD$ مطابق شکل داده شده‌اند. نقطه‌ای بیابید که از دو نقطهٔ $A$ و $B$ به یک فاصله باشد و از دو نقطهٔ $C$ و $D$ نیز به یک فاصله باشد.
ب) نقطهٔ مورد نظر در قسمت (الف) را $O$ می‌نامیم. اگر نقطهٔ $O$ روی عمود منصف پاره‌خط $BC$ باشد و دایره‌ای به مرکز $O$ و به شعاع $OA$ باشد، رأس‌های چهارضلعی $ABCD$ نسبت به دایرهٔ $G$ چه وضعیتی دارند؟ چرا؟
## الف) یافتن نقطهٔ هم‌فاصله از $A, B$ و $C, D$
* **مجموعهٔ نقاط هم‌فاصله از $A$ و $B$**: این نقاط روی **عمود منصف پاره‌خط $AB$** قرار دارند.
* **مجموعهٔ نقاط هم‌فاصله از $C$ و $D$**: این نقاط روی **عمود منصف پاره‌خط $CD$** قرار دارند.
**نقطهٔ مورد نظر** نقطه‌ای است که در **تقاطع عمود منصف $AB$ و عمود منصف $CD$** قرار دارد (با فرض اینکه این دو خط موازی نباشند). این نقطه از $A$ و $B$ و همچنین از $C$ و $D$ هم‌فاصله است.
$$\text{نقطهٔ مورد نظر}: \text{نقطهٔ تقاطع عمود منصف } AB \text{ و عمود منصف } CD$$
---
## ب) وضعیت رأس‌های $ABCD$ نسبت به دایرهٔ $G$
نقطهٔ $O$ از قسمت (الف) دارای خواص زیر است:
1. $O$ روی عمود منصف $AB \Rightarrow OA = OB$.
2. $O$ روی عمود منصف $CD \Rightarrow OC = OD$.
همچنین در صورت سؤال ذکر شده که:
3. $O$ روی عمود منصف $BC \Rightarrow OB = OC$.
از ترکیب (1), (2), و (3) نتیجه می‌گیریم:
$$OA = OB = OC = OD$$
دایرهٔ $G$ به **مرکز $O$ و شعاع $OA$** رسم شده است.
**وضعیت رأس‌ها**:
چون فاصلهٔ هر چهار رأس تا مرکز دایره ($O$) برابر با شعاع ($OA$) است، **تمام رأس‌های $A, B, C, D$ روی محیط دایرهٔ $G$ قرار دارند**.
$$\text{وضعیت}: \text{رأس‌های } A, B, C, D \text{ همگی روی محیط دایرهٔ } G \text{ قرار دارند.}$$
مثلث دلخواه رسم کنید و آن را $ABC$ بنامید. عمود منصف‌های دو ضلع این مثلث را رسم کنید و نقطهٔ برخورد آن‌ها را $O$ بنامید. به مرکز $O$ و به شعاع $OA$ یک دایره رسم کنید. نقاط $B$ و $C$ نسبت به این دایره چه وضعیتی دارند؟ چرا؟
## وضعیت نقاط $B$ و $C$ نسبت به دایره
**۱. تعریف نقطهٔ $O$**: نقطهٔ $O$ محل تلاقی عمود منصف‌های دو ضلع مثلث است. **مرکز دایرهٔ محیطی** مثلث، محل تلاقی عمود منصف‌های **هر سه** ضلع مثلث است. بنابراین، $O$ مرکز دایرهٔ محیطی $\triangle ABC$ است.
**۲. خاصیت عمود منصف**: هر نقطه روی عمود منصف یک پاره‌خط، از دو سر آن پاره‌خط به یک فاصله است.
* چون $O$ روی عمود منصف ضلع $AB$ است: $$OA = OB$$
* چون $O$ روی عمود منصف ضلع $AC$ است: $$OA = OC$$
**۳. نتیجه‌گیری**: از این دو تساوی نتیجه می‌گیریم: $$OA = OB = OC$$
**۴. وضعیت نقاط**: دایرهٔ رسم شده به **مرکز $O$ و شعاع $OA$** است. از آنجایی که فاصلهٔ نقاط $B$ و $C$ تا مرکز $O$ نیز برابر با $OA$ است ($OB = OA$ و $OC = OA$):
$$\text{وضعیت}: \text{نقاط } B \text{ و } C \text{ نیز **روی محیط دایره** قرار دارند.}$$
مثلث دلخواه رسم کنید و آن را $ABC$ بنامید. نیمسازهای دو زاویهٔ این مثلث را رسم کنید و نقطهٔ برخورد آن‌ها را $O$ بنامید. از نقطهٔ $O$ بر سه ضلع مثلث عمود رسم کنید و پای یکی از عمودها را $H$ بنامید. به مرکز $O$ و به شعاع $OH$ دایره‌ای رسم کنید. اضلاع مثلث $ABC$ نسبت به این دایره چه وضعیتی دارند؟ چرا؟
## وضعیت اضلاع مثلث نسبت به دایره
**۱. تعریف نقطهٔ $O$**: نقطهٔ $O$ محل تلاقی نیمسازهای دو زاویهٔ مثلث است. **مرکز دایرهٔ محاطی** مثلث، محل تلاقی نیمسازهای **هر سه** زاویهٔ مثلث است. بنابراین، $O$ مرکز دایرهٔ محاطی $\triangle ABC$ است.
**۲. خاصیت نیمساز**: هر نقطه روی نیمساز یک زاویه، از دو ضلع زاویه به یک فاصله است.
**۳. شعاع دایرهٔ محاطی**: فاصلهٔ مرکز دایرهٔ محاطی ($O$) تا هر یک از اضلاع مثلث، برابر با **شعاع دایرهٔ محاطی** ($r$) است.
اگر از $O$ بر سه ضلع عمود رسم کنیم و پای آن‌ها $H_1, H_2, H_3$ باشند، آنگاه: $$OH_1 = OH_2 = OH_3$$
شعاع دایرهٔ رسم شده برابر $r = OH$ است.
**۴. وضعیت اضلاع**: فاصلهٔ مرکز دایرهٔ ($O$) تا هر سه ضلع مثلث برابر با شعاع ($OH$) است. خطی که فاصلهٔ آن از مرکز دایره برابر شعاع باشد، بر دایره **مماس** است.
$$\text{وضعیت}: \text{هر سه ضلع مثلث } ABC \text{ بر محیط دایرهٔ رسم شده **مماس** هستند.}$$
فرض کنید نقطهٔ $A$ به فاصلهٔ $4 \text{ سانتی‌متر}$ از خط $d$ باشد. روش رسم هر یک از مثلث‌های زیر را توضیح دهید.
الف) مثلثی متساوی‌الساقین که $A$ یک رأس آن و قاعده‌اش بر خط $d$ منطبق باشد.
ب) مثلثی که شرایط (الف) را داشته باشد و طول ساق آن $6 \text{ سانتی‌متر}$ باشد.
پ) مثلثی رسم کنید که شرایط قسمت (الف) را داشته باشد و مساحت آن $8 \text{ cm}^2$ باشد.
نقطهٔ $A$ از خط $d$ به فاصلهٔ $h = 4 \text{ سانتی‌متر}$ است ($d(A, d) = 4$).
## الف) رسم مثلث متساوی‌الساقین با رأس $A$ و قاعده روی $d$
1. از نقطهٔ $A$ عمودی بر خط $d$ رسم کنید. پای عمود را $H$ بنامید ($AH = 4$).
2. نقطهٔ $H$، **نقطهٔ میانی** قاعدهٔ مثلث متساوی‌الساقین است.
3. یک پاره‌خط دلخواه روی خط $d$ در نظر بگیرید که $H$ وسط آن باشد. برای مثال، دو نقطهٔ $B$ و $C$ را روی خط $d$ طوری انتخاب کنید که $HB = HC$ باشد. (مثلاً $HB = HC = 3 \text{ cm}$).
4. با وصل کردن $A$ به $B$ و $A$ به $C$، مثلث $ABC$ تشکیل می‌شود. ($AB = AC$)
---
## ب) رسم مثلث متساوی‌الساقین با طول ساق $6 \text{ cm}$
1. مانند قسمت (الف)، عمود $AH$ را بر خط $d$ رسم کنید. ($AH = 4$).
2. پرگار را به اندازهٔ **طول ساق** ($6 \text{ سانتی‌متر}$) باز کنید.
3. به مرکز **رأس $A$**، کمانی رسم کنید تا خط $d$ را قطع کند. نقاط تقاطع را $B$ و $C$ بنامید.
4. با وصل کردن $A$ به $B$ و $A$ به $C$، مثلث $ABC$ با طول ساق $AB = AC = 6 \text{ cm}$ به دست می‌آید. (چون فاصلهٔ $A$ تا $d$ ($4$) از طول ساق ($6$) کوچکتر است، کمان خط را در دو نقطه قطع می‌کند.)
---
## پ) رسم مثلث متساوی‌الساقین با مساحت $8 \text{ cm}^2$
1. **محاسبهٔ طول قاعده**: مساحت مثلث برابر است با $\frac{1}{2} \times \text{قاعده} \times \text{ارتفاع}$. در اینجا $A$ رأس و $d$ قاعده است، پس ارتفاع $h = d(A, d) = 4 \text{ cm}$.
$$\text{مساحت} = 8 = \frac{1}{2} \times \text{قاعده} \times 4$$
$$\Rightarrow 8 = 2 \times \text{قاعده} \Rightarrow \text{قاعده} = 4 \text{ cm}$$
2. مانند قسمت (الف)، عمود $AH$ را بر خط $d$ رسم کنید. ($AH = 4$).
3. روی خط $d$، دو نقطهٔ $B$ و $C$ را طوری انتخاب کنید که طول قاعده $BC$ برابر $4 \text{ سانتی‌متر}$ و $H$ وسط آن باشد. (بنابراین $HB = HC = 2 \text{ cm}$).
4. با وصل کردن $A$ به $B$ و $A$ به $C$، مثلث $ABC$ با مساحت $8 \text{ cm}^2$ رسم می‌شود.
